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18/11/2021 | Por Rommel Silvestre Jiménez Ortiz Miller, M. (2017). Nocturne no.1 (Galaxy) [Captura de pantalla]. YouTube. https://www.youtube.com/watch?v=6uYclxVWl_A NASA. (2017). Hubble’s High-Definition Panoramic View of the Andromeda Galaxy [Fotografía]. https://www.nasa.gov/content/goddard/hubble-s-high-definition-panoramic-view-of-the-andromeda-galaxy Las matemáticas tienen belleza y romance. El mundo de las matemáticas no es un lugar aburrido en el que estar. Es un lugar extraordinario: merece la pena pasar el tiempo allí. -Marcus Du Sautoy, 1965 Tal vez te preguntes qué tiene que ver las frecuencias musicales con el brillo de las estrellas —justo como el título indica— y porqué es importante conocerlo. Hoy voy a explicarte esto y verás cómo se relaciona con muchos otros asuntos en la vida cotidiana. Pero para responder a esta incógnita, primero es necesario conocer sobre las escalas logarítmicas y para esto vamos a comenzar hablando sobre las líneas. Sí, oíste bien, las líneas, o más específicamente, sobre las escalas lineales. Supongamos que decides ir a caminar a un parque y te detienes para saber en qué dirección ir. Si das un paso hacia adelante, avanzarás un metro, si das dos pasos hacia adelante, avanzarás dos metros y así sucesivamente, esto también aplica para cualquier dirección: derecha, izquierda o atrás. Podemos decir que para cada paso hay una relación directa con los metros que avanzas, esto es en otras palabras, una escala lineal con función y = x, que graficando obtenemos una línea recta como la siguiente: Jiménez, R. (2021). [Dibujo de un plano cartesiano con función y=x] De ahí el nombre de escala (orden gradual) lineal (en línea recta). Es importante porque la mayoría de nuestra percepción en el mundo funciona así: si yo tengo una gallina y me regalan otra, pues tendré dos gallinas: La relación de gallinas que tengo es directa a la cantidad de gallinas que me dan o me quitan, así de simple. ¿Pero y si hubiera un modo de que esto no fuera así? ¿Y si te dijera que hay un modo tal que al “dar un paso” no avanzaras uno, sino 10 metros, y al siguiente 100, y al siguiente 1,000? Ahora sí podemos comenzar a hablar sobre las escalas logarítmicas, pero es importante entender qué es un logaritmo. En matemáticas, un logaritmo expresa potenciación: una base a la que es necesaria elevar a una potencia para obtener un argumento. Siempre un logaritmo tiene una base, un exponente y un argumento. Por ejemplo log5(25) = 2 se lee como logaritmo base 5 de 25 es igual a 2. Donde 5 es la base del logaritmo, 25 es el argumento y 2 es el exponente al que tenemos que elevar la base para obtener el argumento, es por esto que esa misma expresión se puede ver así: 5^(2) = 25, pero este es otro asunto que no voy a tratar. Hasta hace unas décadas, las personas solían trabajar con tablas que les permitiera saber con exactitud el logaritmo de un número específico. Afortunadamente en nuestros días, una calculadora hace los cálculos, dejando a estas tablas como una reliquia obsoleta. Caballero, A., Martínez, L., & Bernárdez, J. (2010). Tablas de logaritmos [Imagen]. En Tablas matemáticas (pp. 24–28). Es importante recalcar que hoy en día, las calculadoras trabajan con logaritmo base 10, pero como ya vimos, se puede trabajar con diferentes bases. Los logaritmos tienen ciertas reglas que es importante especificar desde un inicio: ● El logaritmo 1 de cualquier base es igual a 0. ● No existe logaritmo 0 ni logaritmos negativos en cualquier base. Aunque sí se pueden conseguir números negativos. ● Los argumentos positivos se consiguen con los exponentes positivos de la base. ● Mientras que los argumentos negativos se consiguen con bases entre 0 y 1. Me gustaría recalcar que “moverse una unidad” significa avanzar hacia el siguiente valor entero, aunque puede no ser así. Esto es muy importante porque una de las principales diferencias en ambas escalas, radica en la distancia entre los valores enteros que representan. En la escala lineal, los valores suman para poder obtener el siguiente número entero. Pero en la escala logarítmica (con base 10), los valores enteros se obtienen únicamente con exponentes de 10 tales como 10, 100, 1000, 10000, etc., es decir que se multiplican. Por otro lado, sabemos que, en una escala lineal, los valores entre 1 y 2 serán siempre de 10 decimales, todos a la misma distancia uno de otro. Algo similar sucede con las escalas logarítmicas, solo que no están a la misma distancia. Permíteme mostrarte la diferencia con esta tabla y su gráfico correspondiente: Jiménez, R. (2021). [Dibujo de Escala de escala linea del 0 al 1 con decimales] Jiménez, R. (2021). [Dibujo de Escala de logaritmos del 1 al 2] Y justo ahorita tal vez te preguntes, ¿10 en lugar de 1? ¿1,000 en lugar de 3? ¿Y esto para qué? ¿De qué nos sirve tener 1 en lugar de 0? Todo esto es simplemente para... Graficar valores muy grandes, con valores muy pequeños Vamos a comenzar con un ejemplo de escala logarítmica muy fácil de entender. Los sonidos no son más que ondas en el aire que terminan llegando a nuestro oído. Si una de esas ondas oscila muy pocas veces por segundo escucharemos un sonido muy grave, por el contrario, si oscila más veces por segundo escucharemos un sonido más agudo. Estas oscilaciones se miden en Hertz (Hz), y una persona puede escuchar entre 20 y 20,000 Hz. Campaña., C. (2017). Clave de Fa en 4ta línea. [Imagen de teclas de un piano y sus notas correspondientes en el pentagrama.]. Clase de Lenguaje Musical. https://www.clasedelenguajemusical.com/1-8/
¡Eureka! Esta gráfica logarítmica va de acuerdo con nuestra lógica lineal de que las notas deben estar una detrás de la otra en línea recta, justo como en el piano. Te sorprenderá la cantidad de escalas logarítmicas a las que estamos expuestos sin que nos demos cuenta. Mira este ejemplo: “Un día te levantas temprano, todavía está oscuro y alcanzar a ver unas estrellas. Querías tomar un jugo de limón, pero te das cuenta de que es muy ácido como para tomarlo tan temprano, así que optas por tomar un vaso de leche. De repente suena la alerta sísmica tan fuerte que quedas sordo por un momento, resulta que un sismo de 7.8° en la escala de Richter ha sucedido a 20 km de tu ciudad. Y, por último, este sismo ha provocado que la inflación del país aumente drásticamente”. En esta historia que —esperemos que no le pase a nadie— te acabo de mencionar 5 ejemplos diferentes de escalas logarítmicas. Vamos a darle un vistazo a cada una de ellas. ● ¿Alguna vez te preguntaste si podíamos medir el brillo de las estrellas? Si no lo habías hecho, te cuento que existe una fórmula matemática que implica el uso de logaritmos para determinar el brillo de una estrella. RhEvans. (2014). Measuring the brightness of stars. [Ilustración]. https://thecuriousastronomer.wordpress.com/2014/02/13/measuring-the-brightness-of-stars/ ● El pH está presente en muchas de las cosas con las que interactuamos, como la comida, cosméticos, etc. pero seguro que no sabías que usaba una escala logarítmica para medirse. Xylem. (2015). Why is the pH Scale Logarithmic? [Imagen]. https://www.ysi.com/ysi-blog/water-blogged-blog/2015/02/why-is-the-ph-scale-logarithmic ● El volumen suele medirse en decibeles, y estos decibelios se miden por medio de una escala logarítmica. ● La energía liberada por los sismos más grandes es mucho más grande de la que podemos imaginar, sin embargo, los sismos menores a una magnitud de 4 apenas los podemos sentir. Como puedes intuir los sismos también se miden a través de una escala logarítmica. Por esta razón, los decimales de la escala son muy importantes. The Richter Scale. (s. f.). [Ilustración]. https://wiki.ubc.ca/Course:Math110/003/Teams/Ticino/The_Richter_Scale ● En asuntos relacionado a la economía de los países como el PIB, la deuda externa, la devaluación, etcétera, en muchos casos es necesario graficar con escalas logarítmicas, porque de lo contrario, no se puede visualizar la información correctamente. Aquí el gráfico lineal del PIB y la deuda externa de EUA. Como puedes ver, los primeros años de la gráfica no se pueden percibir claramente. Mientras que en su homólogo logarítmico sí podemos alcanzar a observar con mayor detalle las gráficas. Gil, C. (2011). Gráficas de comparación lineal vs logarítmico [Gráficas]. ¿ESCALAS LOGARÍTMICAS? PUEDE, PERO... Recuperado de: https://www.datanalytics.com/2011/11/25/%C2%BFescalas-logaritimicas-puede-pero/ En conclusión, las escalas logarítmicas nos ayudan a simplificar los números, a relacionar mejor los conceptos que podrían contener números gigantescos y a entender con más facilidad algunos eventos del día a día. No sé ustedes, pero a mí me molestaría decir que “ha ocurrido un sismo que detonó la energía equivalente a 60,000,000,000 de kilogramos de TNT”, cuando es mucho más fácil decir que “ha ocurrido un sismo de magnitud 8 en la escala de Richter”. Con toda la información hasta ahora, el título cobra sentido: La relación entre las estrellas y las notas musicales es que ambas se miden en escalas logarítmicas. Como dijo el matemático profesor, Stan Gudder “La esencia de las matemáticas no es hacer las cosas simples complicadas, sino hacer las cosas complicadas simples”. Nuestros caminos se dividen y te agradezco el tiempo de la lectura. Espero haberte ayudado a entender mejor este concepto, o en su defecto, espero haberte incentivado a investigar más. ¡Te dejo estos videos por si todavía tienes dudas, hasta luego!
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